Практичне заняття №2
Тема: Функція, її властивості та графік.
1.Задано функцію f(x)=
x+3
x−1
знайти f(0), f(2), f(
1
2
).Чи існує f(1)?
Розв’язання:
f(0)=
3
−3
=−1, f(2)=
2+3
2−1
=5, f(
1
2
)=
1
2
+3
1
2
−1
=
7
2
−
1
2
=−7.
f(1) не існує, оскільки при цьому знаменник перетворюється на 0 і вираз не має змісту.
2. Задано функцію y=
u
2
,де u=x+3 .Виразити y як функцію змінної x.
Розв’язання:
y=
(x+3)
2
або y=
x
2
+6+9.
3. Подати складну функцію у вигляді ланцюжка основних елементарних перетворень:
а) y=
sin
2
x
Запишемо функцію у вигляді y=
(sinx)
2
; бачимо, що y=
u
2
, де u=sinx
б) y=
cosx
y=
u
, де u=cosx
в) y=
e
tg2x
y=
e
u
2
, де u=tgx
4. Знайти області визначення функцій:
а) y=
x−1
D(y): x-1≥0
x≥1
x ∈[1;+∞)
б) y=
log
3
(x+2)
D(y): x+2>0
x>-2
x ∈(-2;+∞)
в) y=
x+3
x−1
D(y): x-1≠0
x≠1
x ∈(-∞;1)⋃(1;+∞)
г) y=
1
x
+arcsinx
D(y):
x
≠0
x≥0
−1≤2x≤1
;
x>0
−
1
2
≤x≤
1
2
x ∈(0;
1
2
]
д)y=
3
x+2
D(y): x∈R
е)y=
1
x
2
+1
D(y): x∈R
є) y=
4−
x
2
D(y): 4-
x
2
≥0 або 4-
x
2
=0
-
x
2
≥-4
x
2
=4
x
2
≤4 x =±4
x ∈[-2; 2]
ж)y=arccos
x
2
D(y): -1≤
x
2
≤1
-2≤x≤2
x ∈[-2; 2]
з)y=
2−x
log
2
x
D(y):
log
2
x
≠0
x>0
2−x≥0
;
x≠
2
0
x>0
−x≥−2
;
x≠1
x>0
x≤2
x ∈(0;1)⋃(1;2]
5. Дослідити функції на парність і непарність:
а) y=
x+3
x−1
f(-x)=
−x+3
−x−1
≠f(x)≠-f(x)
Отже, функція ні парна, ні непарна (функція загального вигляду).
б) y=
x
3
+x
f(-x)=(-
x)
3
+(-x)=-
x
3
-x=-(
x
3
+x)=-f(x)
Отже, функція непарна.
в) y=
x
6
+x
f(-x)=(-
x)
6
+(-x)=
x
6
-x≠f(x)≠-f(x)
Отже, функція ні парна, ні непарна.
г) y=
x
*cosx
f(-x)=
−x
*cos(-x)=
x
*cosx=f(x)
Отже, функція парна.
6. Знайти основні періоди функцій:
а) y=cos3x, T=
2π
3
;
б) y=tg
x
4
, T=
π
1
4
=4 π;
в) y=cos
π
2
, T=
2π
1
2
=2 π;
г) y=ctg3x, T=
π
3
;
7. Знайти функції, обернені до даних:
а) y=3x+1
3x=y-1
x=
y−1
3
y=
x
3
-
1
3
-обернена до даної.
б) y=
e
4x
lny=ln
e
4x
lny=4x
x=
lny
4
y=
lnx
4
-обернена до даної.
Побудова графіків функцій
За відомим графіком функції y=f(x) можна побудувати графіки функцій:
1. y=f(-x)-графік, симетричний графіку функції y=f(x) відносно осі OX;
2. y=-f(x)-графік, симетричний графіку функції y=f(x) відносно осі OY;
3. y=f(x-a)-графік, зсунутий відносно графіка функції y=f(x) вздовж осі OX на величину a (якщо a>0-зсув вправо, a<0-вліво);
4. y=f(x+b)-графік, зсунутий відносно графіка функції y=f(x) вздовж осі OY на величину b (якщо b>0-зсув вгору, b<0-вниз);
5. y=A*f(x)-графік, розтягнутий відносно графіка функції y=f(x) в A разів вздовж осі OY;
6. y=f(k*x); k>0-графік, розтягнутий відносно графіка функції y=f(x) в
1
k
разів вздовж осі OX.
За допомогою вказаних перетворень можна побудувати графік складної функції вигляду y=A*f(k(x-a))+b, якщо відомий графік функції y=f(x).
Д/З: Побудувати графік функції:
а) y= y=2x+1;
б) y=
2x
2
;
в) y =-
x
2
;
г) y=
x
2
-1;
д) y=
(x−1)
2
.
